方法一　运用函数相关概念的本质解题

例1　(1)(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝logax，x≥1(，x<1，)是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)

A.，2(3)   B.，3(5)

C.，3(3)   D.2(5)

思路分析　分段函数是(－∞，＋∞)上的增函数→每一段都为增函数→x＝1右侧的函数值不小于左侧的函数值求解

答案　A

解析　函数f(x)＝logax，x≥1(，x<1，)

是(－∞，＋∞)上的增函数，

所以≤0，(5)解得2(3)≤a≤2，

所以实数a的取值范围是，2(3).

批注　在函数的第一段中，虽然没有x＝1，但当x＝1时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最大值”，为了保证函数是增函数，这个“最大值”应不大于第二段的最小值，即f(1)，这是解题的一个易忽视点．

(2)(2022·河南名校联盟联考)已知ab＝a，b>a，(b，b≤a，)且函数f(x)＝(0≤x<3)，对定义域内的任意的x，恒有Mf(x)＝f(x)，则正数M的取值范围为(　　)

A.，＋∞(1)   B.8(1)

C．[2，＋∞)   D．(0,2]

思路分析　“”的定义，表示取小→有Mf(x)＝f(x)知，M≥f(x)→求f(x)的最大值

答案　C

解析　令t＝x²－2x(0≤x<3)，则t∈[－1,3)，

则f(t)＝2(1)^t∈，2(1)，

因为ab＝a，b>a，(b，b≤a，)

又对定义域内的任意的x恒有Mf(x)＝f(x)，

所以M≥2，正数M的取值范围为[2，＋∞)．

批注　本题关键是理解“”的含义，对于复合函数f(x)的最值、值域问题，应采用换元法，

变成常见的二次和指数函数．

规律方法　解答本题，首先要明确分段函数和增函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据增函数的定义，两段函数都是增函数，但这不足以说明整个函数是增函数，还要保证在两段的衔接处呈增的趋势，这一点往往容易被忽视．

方法二　利用函数性质解不等式、方程问题

函数与方程、不等式相互联系，借助函数的性质可以解决方程的解的个数、参数取值范围以及解不等式问题．

例2　(1)(2022·山东名校大联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3^x－1，则使不等式f(e^x－3e^－x)<9(8)成立的x的取值范围是(　　)

A．(ln 3，＋∞)   B．(0，ln 3)

C．(－∞，ln 3)   D．(－1,3)

思路分析　解不等式问题→比较两个函数值的大小→判断f(x)的单调性

答案　C

解析　当x<0时，f(x)＝3^x－1单调递增且f(x)<0，

又函数f(x)是定义在R上的奇函数，

则f(0)＝0满足f(x)＝3^x－1，

所以函数y＝f(x)在R上是连续函数，

所以函数f(x)在R上是增函数，

f(－2)＝－9(8)，

所以f(2)＝－f(－2)＝9(8)，

f(e^x－3e^－x)<9(8)＝f(2)，

所以e^x－3e^－x<2，

即e^2x－2e^x－3<0，(e^x－3)(e^x＋1)<0，

又e^x＋1>0，

所以e^x<3，x<ln 3，

即原不等式的解集为(－∞，ln 3)．

(2)设x，y为实数，满足(x－1)³＋2 022(x－1)＝－1，(y－1)³＋2 022(y－1)＝1，则x＋y＝________.

思路分析　观察两方程形式特征→借助函数f(t)＝t³＋2 022t的单调性、奇偶性→f(x－1)＝f(1－y)→求出x＋y

答案　2

解析　令f(t)＝t³＋2 022t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数．

由f(x－1)＝－1＝－f(y－1)＝f(1－y)，

可得x－1＝1－y，则x＋y＝2.

规律方法　函数与方程的相互转化：对于方程f(x)＝0，可利用函数y＝f(x)的图象和性质求解问题．

方法三　构造函数解决一些数学问题

在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简、化难为易的效果．

例3　(2022·浙江山水联盟联考)已知实数a，b∈(1，＋∞)，且log₃a＋log_b3＝log₃b＋log_a4，则(　　)

A.<b<a   B．b<<a

C.<a<b   D．a<b<

思路分析　log₃a－log_a4＝log₃b－log_b3→log₃b－log3b(1)<log₃a－log3a(1)，log₃b－log3b(1)>log₄a－log4a(1)→构造函数y＝x－x(1)→利用函数的性质求解

答案　A

解析　由log₃a－log_a4＝log₃b－log_b3可得log₃b－log3b(1)＝log₃a－log4a(1)<log₃a－log3a(1)，

因为y＝x－x(1)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，且log₃a，log₃b∈(0，＋∞)，所以log₃b<log₃a，

即b<a，

其次，log₃b－log3b(1)>log₄a－log4a(1)，

所以log₃b>log₄a，

又因为log₄a＝log₂>log₃且y＝log₃x单调递增，

所以由log₃b>log₃可知b>，

综上，<b<a.

规律方法　在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的两个变量，揭示函数关系使问题明晰化．

方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题

利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．

例1　(1)(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝≤x≤0.(5)若方程f(x)＝a恰有四个不同的实数解，分别记为x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁＋x₂＋x₃＋x₄的取值范围是(　　)

A.12(19)   B.12(19)

C.4(17)   D.3(8π)

思路分析　由f(x)＝sin πx－cos πx－3(5)≤x＜0→f(x)＝2sin6(π)－3(5)≤x＜0→f(x)关于x＝

－3(4)对称→x₁＋x₂的值；由f(x)＝|log₂x|，x>0→x₃x₄＝1

答案　A

解析　f(x)＝≤x≤0，(5)

当－3(5)≤x≤0时，

f(x)＝sin πx－cos πx

＝2cos πx(1)＝2sin6(π)，

令πx－6(π)＝－2(3π)，

解得x＝－3(4)，

当x＝－3(5)时，f 3(5)＝2sin6(π)＝1，

当x>0时，f(x)＝|log₂x|，令f(x)＝2，

解得x＝4或x＝4(1)，

令f(x)＝1，解得x＝2或x＝2(1)，

作出函数f(x)的图象如图所示，

因为方程f(x)＝a恰有四个不同的实数解，即y＝f(x)与y＝a恰有四个交点，所以1≤a<2，

不妨令x₁<x₂<x₃<x₄，

则x₁<x₂<0<x₃≤2(1)<2≤x₄<4，

且x₁与x₂关于x＝－3(4)对称，

所以x₁＋x₂＝－3(8)，

又|log₂x₃|＝|log₂x₄|，

即－log₂x₃＝log₂x₄，

所以log₂x₄＋log₂x₃＝0，

即x₃·x₄＝1，

所以x₃＝x4(1)，

所以x₁＋x₂＋x₃＋x₄＝－3(8)＋x4(1)＋x₄，

因为y＝x(1)＋x在[2,4)上单调递增，

所以x4(1)＋x₄∈4(17)，

所以x₁＋x₂＋x₃＋x₄∈12(19).

(2)已知函数f(x)＝ln(x＋1)，x>0，(－x2＋2x，x≤0，)若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]   B．(－∞，1]

C．[－2,1]   D．[－2,0]

思路分析　作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解

答案　D

解析　由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象．

由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，

当直线介于l与x轴之间符合题意，

直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x²－2x，

求其导数可得y′＝2x－2，

当x＝0时，y′＝－2，

故直线l的斜率为－2，

故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0]．

规律方法　方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系．

方法二　利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题

向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．

例2　(2022·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范围是(　　)

A．[0,2＋2]   B．[0,2]

C．[2－2,2＋2]   D．[2－2,2]

思路分析　作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB＝90°→点C在劣弧AB上→作a＋b＝→(OD)→求|→(CD)|的最值.

答案　D

解析　如图所示，→(OA)＝a，→(OB)＝b，→(OC)＝c，→(OD)＝a＋b，

∵(a－c)·(b－c)≤0，

∴点C在劣弧AB上运动，

∴|a＋b－c|表示C，D两点间的距离|→(CD)|.

|→(CD)|的最大值是|→(BD)|＝2，

|→(CD)|最小值为|→(OD)|－2＝2－2.

规律方法　应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．

方法三　几何动态问题中的数形结合

对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．

例3　过双曲线x²－48(y2)＝1的右支上一点P，分别向圆C₁：(x＋7)²＋y²＝4和圆C₂：(x－7)²＋y²＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|²－|PN|²的最小值为________．

思路分析　利用相切、勾股定理，找|PM|与|PC₁|，|PN|与|PC₂|的关系→利用双曲线定义：|PC₁|－|PC₂|＝2a→利用|PC₁|＋|PC₂|≥|C₁C₂|即可求解．

答案　25

解析　由双曲线方程知其焦点坐标为(±7,0)，

由圆的方程知，圆C₁圆心为C₁(－7,0)，

半径r₁＝2；圆C₂圆心为C₂(7,0)，半径r₂＝1.

∵PM，PN分别为两圆切线，

∴|PM|²＝|PC₁|²－r1(2)＝|PC₁|²－4，

|PN|²＝|PC₂|²－r2(2)＝|PC₂|²－1，

∴|PM|²－|PN|²＝|PC₁|²－|PC₂|²－3

＝(|PC₁|＋|PC₂|)(|PC₁|－|PC₂|)－3，

∵P为双曲线右支上的点，

且双曲线焦点为C₁，C₂，

∴|PC₁|－|PC₂|＝2，

又|PC₁|＋|PC₂|≥|C₁C₂|＝14(当P为双曲线右顶点时取等号)，

∴|PM|²－|PN|²＝(|PC₁|＋|PC₂|)(|PC₁|－|PC₂|)－3≥14×2－3＝25，

即|PM|²－|PN|²的最小值为25.

规律方法　几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．

方法一　由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论

概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a_n}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决．

例1　(1)(2022·滁州质检)已知过点P(0,1)的直线l与圆x²＋y²＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为(　　)

A．x＝0

B．15x－8y－8＝0

C．3x－4y＋4＝0或x＝0

D．3x＋4y－4＝0或x＝0

思路分析　设直线方程→k存在，l：y＝kx＋1→圆心到直线l的距离d＝1求解→斜率不存在，l：x＝0.

答案　D

解析　因为圆x²＋y²＋2x－6y＋6＝0化为(x＋1)²＋(y－3)²＝4，

所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，

因为|AB|＝2，

所以圆心到直线的距离为d＝1，

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，

此时圆心(－1,3)到直线的距离为1，满足条件；

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y＝kx＋1，

圆心到直线l的距离为d＝1＋k2(|－k－3＋1|)，

所以1＋k2(|－k－3＋1|)＝1，解得k＝－4(3)，

此时直线方程为3x＋4y－4＝0，

综上，所求直线方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.

(2)已知数列{a_n}满足a₁＝－2，a₂＝2，a_n＋2－2a_n＝1－(－1)ⁿ，则下列选项不正确的是(　　)

A．{a_2n－1}是等比数列

B.(5)(a_2i－1＋2)＝－10

C．{a_2n}是等比数列

D.a(10)_i＝52

思路分析　a_n＋2－2a_n＝1－(－1)ⁿ→n为奇，{a_2n－1}为等比数列；n为偶，{a_2n}为等比数列

答案　B

解析　对于A，当n是奇数时，a_n＋2－2a_n＝2，

所以a_n＋2＋2＝2(a_n＋2)，

又因为a₁＝－2，所以a₁＋2＝0，

所以当n是奇数时，a_n＋2＝0，即a_n＝－2，

即{a_2n－1}是以首项为－2，公比为1的等比数列，

即选项A正确；

对于B，由A知，当n是奇数时，a_n＋2＝0，

所以(5)(a_2i－1＋2)＝0，

即选项B错误；

对于C，当n为偶数时，a_n＋2－2a_n＝0，

即a_n＋2＝2a_n，

又因为a₂＝2，所以an(an＋2)＝2，

所以{a_2n}是以首项为2，公比为2的等比数列，

故选项C正确；

对于D，

a(10)_i＝(a₁＋a₃＋a₅＋a₇＋a₉)＋(a₂＋a₄＋a₆＋a₈＋a₁₀)

＝－10＋1－2(2×(1－25))＝52，即选项D正确．

批注　涉及数列中(－1)ⁿ的问题，一般需分奇偶讨论，当n为奇数时，首项是a₁，a_n是第2(n＋1)个奇数项；当n为偶数时，首项是a₂，a_n是第2(n)个偶数项．

规律方法　解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)ⁿ需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．

方法二　由图形位置或形状引起的讨论

图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究．

例2　设F₁，F₂为椭圆9(x2)＋4(y2)＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|>|PF₂|，则|PF2|(|PF1|)＝________.

|PF2|(|PF1|)

答案　2(7)或2

解析　若∠PF₂F₁＝90°，

则|PF₁|²＝|PF₂|²＋|F₁F₂|²，

又|PF₁|＋|PF₂|＝6，|F₁F₂|＝2，

解得|PF₁|＝3(14)，|PF₂|＝3(4)，∴|PF2|(|PF1|)＝2(7).

若∠F₁PF₂＝90°，则|F₁F₂|²＝|PF₁|²＋|PF₂|²，

∴|PF₁|²＋(6－|PF₁|)²＝20，

又|PF₁|>|PF₂|，∴|PF₁|＝4，|PF₂|＝2，

∴|PF2|(|PF1|)＝2.

综上可知，|PF2|(|PF1|)＝2(7)或2.

批注　P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，并没有说明哪个点是直角顶点，所以需分类讨论，仔细审题，理解题意是关键．

规律方法　圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．

方法三　由参数变化引起的分类讨论

某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．

例3　(2022·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)＝x＋x(1)(x>0)，若[f(x)]2＋a(f(x))的最大值为5(2)，则正实数a＝________.

t(a)

答案　1

解析　令t＝x＋x(1)(x>0)，则t≥2，

则[f(x)]2＋a(f(x))＝t2＋a(t)＝t(a)，

令y＝t＋t(a)(a>0，t≥2)，

当0<a≤4时，y＝t＋t(a)在[2，＋∞)上单调递增，

y＝t＋t(a)≥2＋2(1)a，

则0<t(a)≤a＋4(2)，

即[f(x)]2＋a(f(x))的最大值为a＋4(2)，

则a＋4(2)＝5(2)，解得a＝1；

当a>4时，t＋t(a)≥2(当且仅当t＝时，等号成立)，则0<t(a)≤2a(a)，

即[f(x)]2＋a(f(x))的最大值为2a(a)，

则2a(a)＝5(2)，

解得a＝16(25)(舍)，

综上，所求正实数a＝1.

规律方法　若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论．

方法一　特殊与一般的转化

一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．

例1　(1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：a＋1(x2)＋a(y2)＝1(a>0)的离心率为2(1)，则椭圆C的蒙日圆的方程为(　　)

A．x²＋y²＝9   B．x²＋y²＝7

C．x²＋y²＝5   D．x²＋y²＝4

思路分析　求蒙日圆方程→求蒙日圆半径→找圆上任一点即可求半径→取特殊点→求两切线的交点，即为蒙日圆上一点

答案　B

解析　因为椭圆C：a＋1(x2)＋a(y2)＝1(a>0)的离心率为2(1)，所以a＋1(1)＝2(1)，解得a＝3，

所以椭圆C的方程为4(x2)＋3(y2)＝1，

所以椭圆的上顶点A(0，)，右顶点B(2,0)，所以经过A，B两点的切线方程分别为y＝，x＝2，

所以两条切线的交点坐标为(2，)，

又过A，B的切线互相垂直，

由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上，可得圆的半径r＝＝，

所以椭圆C的蒙日圆方程为x²＋y²＝7.

批注　根据题意每个椭圆的“蒙日圆”都是固定的，所以取特殊点，利用过特殊点的互相垂直的切线的交点也在蒙日圆上即可求半径，体现了特殊到一般的思想．

(2)在平行四边形ABCD中，|→(AB)|＝12，|→(AD)|＝8，若点M，N满足→(BM)＝3→(MC)，→(DN)＝2→(NC)，则→(AM)·→(NM)等于(　　)

A．20  B．15  C．36  D．6

思路分析　假设ABCD为矩形，建系→写出坐标→数量积运算

答案　C

解析　假设ABCD为矩形，以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，M(12,6)，N(8,8)，

∴→(AM)＝(12,6)，→(NM)＝(4，－2)，

∴→(AM)·→(NM)＝12×4＋6×(－2)＝36.

规律方法　一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．

对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．

方法二　命题的等价转化

将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．

例2　(1)(2022·济南模拟)若“∃x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则k的取值范围为(　　)

A．(－∞，－2]   B．(－∞，2]

C．(－∞，－2)   D．(－∞，2)

思路分析　原命题为假命题→“∀x∈(0，π)，sin 2x－ksin x≥0”为真命题→分离常数求解.

答案　A

解析　依题意知，命题“∃x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，

则“∀x∈(0，π)，sin 2x－ksin x≥0”为真命题，

所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x，

解得k≤－2，所以k的取值范围为(－∞，－2]．

(2)已知在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥P－ABC的体积为(　　)

A．40   B．80

C．160   D．240

思路分析　求P－ABC的体积→补成长方体→求长方体除P－ABC之外的三棱锥体积

答案　C

解析　因为三棱锥P－ABC的三组对边两两相等，所以可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC.

易知三棱锥P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线．

不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，

则由已知，可得y2＋z2＝164(x2＋z2＝136，)⇒z＝10.(y＝8，)

从而知V_P－ABC＝V_AEBG－FPDC－V_P－AEB－V_C－ABG－V_B－PDC－V_A－FPC＝V_AEBG－FPDC－4V_P－AEB＝6×8×10－4×3(1)×2(1)×6×8×10＝160.

规律方法　根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元．

方法三　函数、方程、不等式之间的转化

函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y＝f(x)的图象性质可以确定方程f(x)＝0，不等式f(x)>0和f(x)<0的解集．

例3　已知f(x)＝ln x－4(x)＋4x(3)，g(x)＝－x²－2ax＋4，若对∀x₁∈(0,2]，∃x₂∈[1,2]，使得f(x₁)≥g(x₂)成立，则a的取值范围是__________．

思路分析　对∀x₁∈(0，2]，∃x₂∈[1，2]，使得f(x₁)≥g(x₂)成立→∃x₂∈[1，2]，f(x)_min≥g(x)→分离参数求范围.

答案　，＋∞(1)

解析　因为f(x)＝ln x－4(x)＋4x(3)，

所以f′(x)＝x(1)－4(1)－4x2(3)

＝4x2(－x2＋4x－3)＝－4x2((x－1)(x－3))，

当0<x<1时，f′(x)<0，

当1<x<2时，f′(x)>0，

所以f(x)_min＝f(1)＝2(1)，

即∃x∈[1,2]，g(x)≤2(1)，

即∃x∈[1,2]，－x²－2ax＋4≤2(1)，

∴a≥4x(7)_min，

函数φ(x)＝－2(x)＋4x(7)在[1,2]上单调递减，

∴φ(x)∈4(5)，

∵a≥－8(1)，

∴a的取值范围是，＋∞(1).

例4　已知函数f(x)＝eln x，g(x)＝e(1)f(x)－(x＋1).

(1)求函数g(x)的极大值；

(2)求证：1＋2(1)＋3(1)＋…＋n(1)>ln(n＋1)(n∈N^*)．

思路分析　g(x)的极值→ln x<x－1→赋值叠加证明结论

(1)解　∵g(x)＝e(1)f(x)－(x＋1)＝ln x－(x＋1)，

∴g′(x)＝x(1)－1(x>0)．

令g′(x)>0，解得0<x<1；

令g′(x)<0，解得x>1.

∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

∴g(x)_极大值＝g(1)＝－2.

(2)证明　由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，

∴g(x)≤g(1)＝－2，

即ln x－(x＋1)≤－2⇒ln x≤x－1(当且仅当x＝1时，等号成立)，

令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)(t>－1)．

取t＝n(1)(n∈N^*)时，则n(1)>lnn(1)＝ln n(n＋1)，

∴1>ln 2，2(1)>ln 2(3)，3(1)>ln 3(4)，…，n(1)>lnn(n＋1)，

∴叠加得1＋2(1)＋3(1)＋…＋n(1)>lnn(n＋1)＝ln(n＋1)．

即1＋2(1)＋3(1)＋…＋n(1)>ln(n＋1)(n∈N^*)．

规律方法　借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．

方法一　直接法

直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．

例1　(1)(2022·邯郸模拟)若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且a·b＝3，则向量b与b－a夹角的余弦值为(　　)

A.2(3)  B.9(5)  C.16(2)  D.20(30)

思路分析　根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.

答案　D

解析　因为|b|＝2，且a·b＝3，

所以b·(b－a)＝b²－b·a＝(2)²－3＝9，

因为|b－a|＝＝

＝＝，

所以向量b与b－a夹角的余弦值为|b|·|b－a|(b·(b－a))＝10(9)＝20(30).

(2)(2022·湖北新高考协作体联考)已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n＝n²＋n(n∈N^*)，设b_n＝an·an＋1(1)，则数列{b_n}的前2 023项和T_{2 023}＝________.

思路分析　根据数列中前n项和与项的关系，即可求通项，再利用裂项相消法求和.

答案　2 024(2 023)

解析　∵2S_n＝n²＋n，∴S_n＝2(n2＋n)，

当n≥2时，

a_n＝S_n－S_n－1＝2(n(n＋1))－2((n－1)n)＝n，

a₁＝S₁＝2(1＋1)＝1也符合上式，

∴a_n＝n，b_n＝n(n＋1)(1)＝n(1)－n＋1(1)，

∴T_{2 023}＝1－2(1)＋2(1)－3(1)＋…＋2 023(1)－2 024(1)＝2 024(2 023).

规律方法　直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键．

方法二　特例法

从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．

例2　(1)若a>b>c>1且ac<b²，则(　　)

A．log_ab>log_bc>log_ca   B．log_cb>log_ba>log_ac

C．log_bc>log_ab>log_ca   D．log_ba>log_cb>log_ac

思路分析　利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果.

答案　B

解析　取a＝5，b＝4，c＝3代入验证可知选项B正确．

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，B是A和C的等差中项，则a＋c与2b的大小关系是(　　)

A．a＋c>2b   B．a＋c<2b

C．a＋c≥2b   D．a＋c≤2b

思路分析　B是A，C的等差中项→赋值A，B，C→检验选项

答案　D

解析　①令A＝30°，B＝60°，C＝90°，令c＝2，

则a＝1，b＝，∴a＋c＝3<2b＝2，

②令A＝B＝C＝60°，则a＝b＝c，∴a＋c＝2b，

故a＋c≤2b.

规律方法　特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；

第二，若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．

方法三　排除法

排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项．

例3　(1)(2022·菏泽质检)函数f(x)＝x2＋|x|－2(ex－e－x)的图象可能为(　　)