第43练　函数与方程思想

[思想方法解读]　1.函数与方程思想的含义

(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.

(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.

2.函数与方程思想在解题中的应用

(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.

(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.

(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.

体验高考

1.(2015·湖南)已知函数f(x)＝若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.

答案　(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析　函数g(x)有两个零点，

即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，

则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点.

①若a<0，

则当x≤a时，f(x)＝x3，函数单调递增；

当x>a时，

f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，

f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点.

②若0≤a≤1，

则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点.

③若a>1，

则a3>a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点.

综上，a<0或a>1.

2.(2015·安徽)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).

①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；

④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.

答案　①③④⑤

解析　令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，

当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；

当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要有一根，f(x)极大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，②错误.所有正确条件为①③④⑤.

3.(2016·课标全国甲)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)等于(　　)

A.0  B.m  C.2m  D.4m

答案　B

解析　方法一　特殊函数法，根据f(－x)＝2－f(x)可设函数f(x)＝x＋1，由y＝，解得两个点的坐标为此时m＝2，所以(xi＋yi)＝m，故选B.

方法二　由题设得(f(x)＋f(－x))＝1，点(x，f(x))与点(－x，f(－x))关于点(0，1)对称，则y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称.

又y＝＝1＋，x≠0的图象也关于点(0，1)对称.

则交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对，且关于点(0，1)对称.

则(xi，yi)＝i＋i＝0＋×2＝m，故选B.

高考必会题型

题型一　利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题

例1　(2016·天津)已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2－x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是(　　)

A.  B.  C.∪  D.∪

答案　C

解析　由y＝loga(x＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0<a<1.

又由f(x)在R上单调递减，

则⇒≤a≤.

如图所示，在同一坐标系中作出函数y＝|f(x)|和y＝2－x的图象.

由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－x有且仅有一个解.

故在(－∞，0)上，|f(x)|＝2－x同样有且仅有一个解.当3a>2，

即a>时，由x2＋(4a－3)x＋3a＝2－x(其中x<0)，得x2＋(4a－2)x＋3a－2＝0(其中x<0)，则Δ＝(4a－2)2－4(3a－2)＝0，

解得a＝或a＝1(舍去)；

当1≤3a≤2，即≤a≤时，

由图象可知，符合条件.

综上所述，a∈∪.故选C.

点评　函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想.方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象的交点个数问题也可转化为方程根的问题.

变式训练1　已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，则方程f(x)＝g(x)在区间[－5，1]上的所有实根之和为(　　)

A.－5  B.－6  C.－7  D.－8

答案　C

解析　g(x)＝＝＝2＋，由题意知函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间[－5，1]上的图象如图所示：

由图象知f(x)、g(x)有三个交点，故方程f(x)＝g(x)

在x∈[－5，1]上有三个根xA、xB、xC，xB＝－3，＝－2，xA＋xC＝－4，

∴xA＋xB＋xC＝－7.

题型二　函数与方程思想在不等式中的应用

例2　定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为(　　)

A.(－∞，0)  B.(0，＋∞)  C.(－∞，2)  D.(2，＋∞)

答案　B

解析　构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减.又g(0)＝＝1，所以<1，即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞).故选B.

点评　不等式恒成立问题的处理方法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数.

变式训练2　已知f(x)＝log2x，x∈[2，16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，则使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为(　　)

A.(－∞，－2]                                      B.[2，＋∞)

C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)               D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案　D

解析　∵x∈[2，16]，∴f(x)＝log2x∈[1，4]，

即m∈[1，4].

不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，

即为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立，

设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，

则此函数在[1，4]上恒大于0，

所以即

解得x<－2或x>2.

题型三　函数与方程思想在数列中的应用

例3　已知数列{an}是首项为2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a4＋1成等比数列，设bn＝＋＋…＋(其中Sn是数列{an}的前n项和)，若对任意n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值.

解　因为a1＝2，a＝a2·(a4＋1)，

又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，

所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，

得d＝2或d＝－1(舍去)，

所以数列{an}的通项公式an＝2n.

因为Sn＝n(n＋1)，

bn＝＋＋…＋

＝＋＋…＋

＝－＋－＋…＋－

＝－＝＝.

令f(x)＝2x＋ (x≥1)，

则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，

所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，

故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，

即当n＝1时，(bn)max＝，

要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，

则须使k≥(bn)max＝，所以实数k的最小值为.

点评　数列问题函数(方程)化法

数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：

第一步：分析数列式子的结构特征.

第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.

第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.

第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.

变式训练3　设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*).若＜－1，则(　　)

A.Sn的最大值是S8                            B.Sn的最小值是S8

C.Sn的最大值是S7                            D.Sn的最小值是S7

答案　D

解析　由条件得＜，即＜，所以an＜an＋1，所以等差数列{an}为递增数列.

又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.

题型四　函数与方程思想在解析几何中的应用

例4　椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求m的取值范围.

解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)，

设c>0，c2＝a2－b2，

由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.

故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.

(2)①当直线l的斜率不存在时，也满足＝3，此时m＝±.

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m (k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，

Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)

x1＋x2＝，x1x2＝.

因为＝3，所以－x1＝3x2，

所以则3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，

即3·2＋4·＝0，

整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，

即k2(4m2－1)＋2m2－2＝0，

当m2＝时，上式不成立；

当m2≠时，k2＝，

由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0，

所以k2＝>0，

解得－1<m<－或<m<1，

综上，所求m的取值范围为∪.

点评　利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤

第一步：联立方程.

第二步：求解判别式Δ.

第三步：代换.利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换.

第四步：下结论.将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围.

第五步：回顾反思.在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节.

变式训练4　已知点F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，点P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是____________.

答案　

解析　设P(x，y)，

则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)

＝x2－c2＋y2＝c2，                                                       ①

将y2＝b2－x2代入①式解得

x2＝＝，

又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，

∴e＝∈.

高考题型精练

1.关于x的方程3x＝a2＋2a，在(－∞，1]上有解，则实数a的取值范围是(　　)

A.[－2，－1)∪(0，1]                              B.[－3，－2)∪[0，1]

C.[－3，－2)∪(0，1]                              D.[－2，－1)∪[0，1]

答案　C

解析　当x∈(－∞，1]时，3x∈(0，3]，

要使3x＝a2＋2a有解，a2＋2a的值域必须为(0，3]，

即0<a2＋2a≤3，

解不等式可得－3≤a＜－2或0＜a≤1，故选C.

2.设函数f(x)＝ex(x3－3x＋3)－aex－x，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为(　　)

A.－1  B.2－  C.1＋2e2  D.1－

答案　D

解析　因为f(x)≤0有解，所以f(x)＝ex(x3－3x＋3)－aex－x≤0，a≥x3－3x＋3－＝F(x)，

F′(x)＝3x2－3＋＝(x－1)(3x＋3＋e－x)，

令G(x)＝3x＋3＋e－x，G′(x)＝3－e－x，3－e－x＝0，

x＝－ln 3，G(x)最小值G(－ln 3)＝6－3ln 3>0，

F(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，

F(x)的最小值为F(1)＝1－，所以a≥1－，

故选D.

3.已知f(x)＝x2－4x＋4，f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，函数y＝fn(x)的零点个数记为an，则an等于(　　)

A.2n  B.2n－1  C.2n＋1  D.2n或2n－1

答案　B

解析　f1(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，有1个零点2，由f2(x)＝0可得f1(x)＝2，则x＝2＋或x＝2－，即y＝f2(x)有2个零点，由f3(x)＝0可得f2(x)＝2－或2＋，则(x－2)2＝2－或(x－2)2＝2＋，即y＝f3(x)有4个零点，以此类推可知，y＝fn(x)的零点个数an＝2n－1.故选B.

4.已知函数f(x)＝ln x－x＋－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意x1∈(0，2)，x2∈[1，2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数b的取值范围为____________.

答案　

解析　问题等价于f(x)min≥g(x)max.

f(x)＝ln x－x＋－1，

所以f′(x)＝－－＝，

令f′(x)>0得x2－4x＋3<0，解得1<x<3，

故函数f(x)的单调递增区间是(1，3)，单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f(x)min＝f(1)＝－.

由于函数g(x)＝－x2＋2bx－4，x∈[1，2].

当b<1时，g(x)max＝g(1)＝2b－5；

当1≤b≤2时；g(x)max＝g(b)＝b2－4；

当b>2时，g(x)max＝g(2)＝4b－8.

故问题等价于

或或

解第一个不等式组得b<1，解第二个不等式组得1≤b≤，第三个不等式组无解.

综上所述，b的取值范围是.

5.满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________.

答案　2

解析　可设BC＝x，则AC＝x，

根据面积公式得S△ABC＝x，

由余弦定理计算得cos B＝，

代入上式得S△ABC＝x＝ .

由得2－2<x<2＋2.

故当x＝2时，S△ABC有最大值2.

6.已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点.若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.

答案　[1，＋∞)

解析　以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a，

由

得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，

则由题意得解得a≥1.

7.设函数f(x)＝ln x＋(a为常数).

(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，求实数a的值；

(2)若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，求实数a的取值范围.

解　(1)函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)，

由f(x)＝ln x＋得f′(x)＝－，

由于曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，

所以f′(2)＝0，即－＝0，

所以a＝.

(2)因为f′(x)＝－＝，

若函数f(x)在(e，＋∞)内有极值，

则函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，

令φ(x)＝x2－(2＋a)x＋1.

设x2－(2＋a)x＋1＝(x－α)(x－β)，可知αβ＝1，

不妨设β>α，则α∈(0，1)，β∈(1，＋∞)，

若函数y＝f′(x)在(e，＋∞)内有异号零点，

即y＝φ(x)在(e，＋∞)内有异号零点，

所以β>e，又φ(0)＝1>0，

所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋1<0，

解得a>e＋－2，

所以实数a的取值范围是(e＋－2，＋∞).

8.已知f(x)＝ex－ax－1.

(1)求f(x)的单调增区间；

(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围.

解　(1)∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，

∴f′(x)＝ex－a.

令f′(x)≥0，得ex≥a，

当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立；

当a>0时，有x≥ln a.

综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；

当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞).

(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.

∵f(x)在R上单调递增，

∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，

即a≤ex在R上恒成立.

∵当x∈R时，ex>0，

∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].

9.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为时，求k的值.

解　(1)由题意得解得b＝.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|MN|＝

＝

＝.

又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，

所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝.

由＝，解得k＝±1.

所以k的值为1或－1.

10.已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值.

解　(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，

依题意，有

即

由①得q2－3q＋2＝0，

解得q＝1或q＝2.

当q＝1时，不合题意.舍去；

当q＝2时，代入②得a1＝2，

所以an＝2×2n－1＝2n.

(2)bn＝an＋log2

＝2n＋log2＝2n－n.

所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n

＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)

＝－＝2n＋1－2－n－n2.

因为Sn－2n＋1＋47<0，

所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，

即n2＋n－90>0，

解得n>9或n<－10.

因为n∈N*，

故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.