§1.1数学模型

§1.1.1时代背景与数学建模的重要性

20世纪以来，科学技术得到了飞速的发展，数学在这个发展过程中发挥了它不可替代的作用，同时它自身也得到了空前的发展．由于计算机的迅速发展和普及，大大增强了数学解决现实问题的手段．数学向社会、经济和自然界各个领域的滲透，扩展了数学与实际的接触面，数学科学应用于经济建设、社会发展和日常生活的范围和方式发生了深刻的变化．从科学技术的角度来看，不少新的分支学科出现了，特别是与数学相结合而产生的新学科如数学生物学、数学地质学、数学心理学和数学语言学等．

在当今的时代，“国家的繁荣富强，关键在于高新的科学技术和高效率的经济管理”．这是当代有识之士的一个共同的见解，也已为发达国家的历史所证实．大量的事实表明，高技术是保持国家竞争力的关键因素．高新技术的基础是应用科学，而应用科学的基础是数学．高技术的出现使得数学与工程技术之间在更广阔的范围内和更深刻的

程度上直接地相互作用，把我们的社会推进到数学工程技术的新时代．

当代社会和经济发展的一个特点就是定量化和定量思维的不断加强．它不仅适用于科学技术工作，在经济管理工作中也日益

体现出了它的重要作用．直观思维、逻辑推理、精确计算以及结论的明确无误，这些都将成为精明的科技人员和经济工作者所应具备的工作素质．因此，可以预言：数学以及数学的应用在科学技术、经济建设、商业贸易和日常生活中所起的作用将越来越大，数学科学作为技术改进、经济发展以及工业竞争的推动力的重要性也将日益显现出来。

众所周知，数学最引人注目的特点是它的思维的抽象性、推理的严谨性和应用的广泛性．这是在数学发展的漫长的历程中逐渐形成的．它来源于人们生产和生活的需要，对其中有关的空间结构、数量关系的共性不断地抽象、升华而成当今的数学．它的出现为我们在更深的层次上认识世界提供了一条重要的途径．它的抽象性和严谨性的特点也成为我们科学地思维和组织构造知识的一个有效的手段，而数学的广泛应用性则为各门学科以及人们的生广、生活和社会活动在定楼方面向深层次发展烫定了基础，但是在过去的年代由于种种原因，这个特点在人们的印象中反映得并不充分。往往只把数学理解为训练人们科学思维的工具，致使人们常常感到学了大量的数学知识和方法但是不会用，

也用不上.

当前，在数学科学与其他科学技术和经济建设紧密结合变得更加需要和可能的今天，学术界在探讨数学科学的技术基础及其对经济竞争力的作用时指出：“在经济竞争中数学是不可少的，

数学科学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术．”“高技术的出现把我们的社会推进到数学技术的时代”。数学的应用特征在当今已显得更加突出和重要.

数学模型是应用数学知识和计算机解决实际问题的一种有效的重要工具.不妨看几个例子。对于十字路口的交通问题，为使路口的交通顺畅，需要设计一个路口的最佳交通流的控制方案（如是否设单行道，是否限制载重车辆通行，如何控制交通灯等)．一种办法是将几种不同的交通控制的设计方案交给交通队进行实地试验，进行观测，最后找出最优的方案．显然，这种办法不仅费时费力，而且会造成该路口和临近地区的交通混乱，根本无法执行：另一种办法是由研究人员调查路口的车流规律，收集有关的数据资料，如车流密度、车辆速度、大小、路口状况等，使用数学和统计学的手段提炼出这些量之间的关系并且使用计算机进行分析和比较，就可以找到最优的控制管理方案。这就是交通管理的数学模型．

有了它我们还可以评估类似的交通流控制方案：生物医学专家掌握了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型，他就可以用来分析药物的疗效，从而有效地指导临床用药，厂长和经理们掌握了他们的工厂、企业的生产与销售的数学模型，他们就可以用计算机控制生产和销售，以获取尽可能高的经济收益，增强工厂、企业的经济竞争力.

应用数学知识和计算机去解决各门学科和社会生产中的实际问题时，首先要通过对实际问题的分析、研究组建用以描述这个问题的数学模型，使用数学的理论和方法或者编程计算对模型进行分析从而得到结果，再返回去解决现实的实际问题．

可见，数学模型与数学建模是应用数学理论和计算机解决实际问题的重要手段和桥梁．大量的事实表明，掌握了数学知识只是应用数学解决实际问题的必要条件，在当前实现数学作为一种技术的职能的过程中使用数学解决实际问题的技能的培养也是非常重要和必需的、这主要是数学模型的有关知识和数学建模能力的培养．

（节选自北京师范大学出版的《数学模型与数学建模》（第4版）） 

§1.1.2数学模型的概念

我们经常使用模型的思想来认识世界和改造世界。这里的模型是针对原型而言的．所谓原型是指人们在社会活动和生产实践中所关心和研究的实际对象，在科技领域常常用系统或过程等术语。如机械系统、电力系统、生态系统、交通系统、社会经济系统等，又如导弹飞行过程、化学反应过程、人口路长过程、污染扩散过程等．模型是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象。

例如大家熟知的航空模型就是飞机的一个抽象．除了机翼与机身的相对位置关系外的一切因素，包括飞机的实际大小都在抽象的过程中被忽略掉了。虽然它与原型的实际飞机已经相距甚远，但是在飞行过程中机翼的位置与形状如何影响飞机在空中平稳地滑翔可以给人们以启迪．

某城市的交通图是这个城市的一个模型．在这个模型中城市的人口、车辆、树木、建筑物的形状等都不重要，但图中所展示的街道和一目了然的公共交通线路是任何一个实际置身于城市中的人很难搞清楚的．

由此可见，模型来源于原型，但它不是对原型简单的模仿，它是人们为了认识和理解原型而对它所作的一个抽象、升华．有了它就可以使我们通过对模型的分析、研究加深对原形的理解和认识.

所谓数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象．数学模型也不是对现实系统的简单的模拟，它是人们用以认识现实系统和解决实际问题的工具．数学模型是对现实对象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果．它使用数学语言精确地表达了对象的内在特征，通过数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究的实际问题的认识．

例如高中物理中著名的牛顿第二定律使用公式来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型，其中为物体的质量，而厂表示运动期间物体所受的外力，模型忽略了物体的形状和大小。由于它抓住了物体受力运动的主要因素，这一定律的出现大大深化了力与物体运动规律的研究工作．

又如数学家欧拉在分析哥尼斯堡的七桥问题时，他把由河流分割的四块陆地抽象为

四个点．又把连接着四块陆地的七座桥抽象为连按这四个点的七条线．于是实际问题中的陆地、河流和桥梁的景观都不见了，剩下的是一幅纯数学的，只有点和线相互连接的“图”，但是这位数学家利用这幅简单的“图”很清楚地解决了哥尼斯堡七桥的旅游回路的问题.

§1.1.3数学模型的理解

数学模型并不是新的事物，很久以来它就一直伴随在我们身边，可以说有了数学并要用数学去解决实际问题时，就一定要使用数学的语言、方法去近似地刻画这个实际问题：这就是数学模型，数（整数、有理数、实数等)，几何图形，导数，积分，数学物理方程以至于广义相对论，规范场等都是非常成功的数学模型，运等学以及统计学的大部分肉容都是关于数学模型的讨论和分析。

数学模型主要是使用数学知识来解决实际问题，因此数学是人们掌握和使用数学模型这个工具的必要条件和重要的基础。在实践中，能够直接运用数学方法解决实际问题的情形是很少见的．也就是说，实际问题很少直接以数学的形式出现在我们面前．而且对于如何使用数学语言来描述所面临的实际问题也往往不是轻而易举的．

应用数学知识解决实际问题的第一步必须要面对实际问题中看起来杂乱无章的现象并从中抽象出恰当的数学关系，也就是组建这个问题的数学模型，这个过程就是数学建模.与数学不同，数学模型的组建过程不仅要进行演绎推理而且还要对复杂的现实进行总结、归纳和提炼的工作，这是一个归纳总结与演绎推理相结合的过程．可以设想，在描述人口增长时，如果把年龄、性别、健康、庆病、死亡、择偶、婚配、生育以及社会、灾害、战争等因素都容纳进去，即使用现代的数学工具恐怕也难以进行分析和研究．因此，建模时必须要对现实问题进行去粗取精、去伪存真的归纳加工过程．但建模时究竟保留什么因素，忽略什么因素并没有一定的范式，这要根据建模者对实际问题的理解、研究的目的及其数学背景来完成这个过程．应该说这是一个创造性的过程．不同的建模者针对同一个实际问题完全可以得到不同的数学模型.

数学模型的另一个重要的特点是要接受实践的检验．因为建模的目的是要用以研究和解决原型的实际问题，而数学模型是经过简化和抽象得到的，尽管这个数学模型的组建过程中的逻辑推导准确无误，也并不意味着模型是成功的．因为严格的推理是无法论证抽象、化简过程的准确性的，它必须要接受实践的检验．经检验被认为是可以接受的模型才能付诸分析、使用.

数学模型是使用数学来解决实际问题的桥梁．对它的分析和研究的过程中主要运用的是数学的理论、方法．由于我们的目的是解决实际问题，在分析过程中应用数学理论时数学上的自然的结论不一定是研究数学模型所需要的结果．像大家在中学数学中所遇到的应用题那样只要套用公式就能解决的问题在实际的数学模型中是很少见到的.将分析模型所得到的数学结论回到实际中去解决问题同样需要创造性的工作，往往并非简单地套用现有的数学公式或定理.

（节选自北京师范大学出版的《数学模型与数学建模》（第4版））

§1.2数学建模及其基本流程

数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程。数学建模的基本流程如右图所示，具体而言：

1.对于面临的实际问题，我们首先需要明确研究的对象和研究的目的.问题所依据的事实和检验模型数据资料的来源是什么，它们是否真实，以及与问题有关的背景知识.需要明确我们所研究问题的类型:是确定型的还是随机的，是需要建模还是需要模拟.  

2.辨识并列出与问题有关的因素.通过“假设”把所研究的问题进行简化，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用.以变量和参数的形式表示这些因素.通常在建模之初总是把问题尽量简化，在最简单的情形下组建模型以降低建模工作的难度。然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际.

3.运用数学知识和数学上的技巧来描述问题中变量之间的关系.通常它可以用数学表达式来描述，如:比例关系、线性或非线性关系、经验关系、平衡原理、输入输出关系、牛顿运动定律、微分或差分方程、矩阵、概率、统计分布等。从而得到了所研究问题的数学模型.

4.使用观测数据或实际问题的有关的背景知识对模型中的参数给出估计值.

5.运行所得到的模型，解释模型的结果或把模型的运行结果与实际观测进行比较.如果模型结果的解释与实际状况相合或结果与实际观测基本一致，这表明模型经检验与实际问题是一致的，可以将它用于对实际问题进行进一步的分析讨论.如果模型的结果很难与实际相吻合或与实际观测不一致，表明这个模型与所研究的实际问题有差异，不能直接将它应用所研究的实际问题.这时如果数学模型的推导、组建过程没有问题的话，就需要返回到建模前关于问题的假设.检查我们关于这个问题所作的假设是否恰当，检查是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留的因素.对假设给出必要的修正，重复前面的建模过程，直到组建出经检验是符合实际问题的模型为止.

将一个数学模型应用于实际问题时主要是通过对模型作进一步的分析和讨论得到的.使用代数的、分析的或数值的方法给出模型的解.从理论上讨论解的性质，必要时也可以写出计算程序或者使用恰当的软件由计算机进行这模拟.把数学上和计算机的运算上得到的结果再回到实际问题中去，用以对实际问题给出解释，解决实际问题或加深我们对问题的认识，从而达到使用数学模型研究实际问题的目的.要注意，由于我们从数学模型得到的结论主要目的是解决实际问题，因此当用它来解决实际问题时的语言应该是非数学工作者所能理解的.这时，过多、过深地使用数学语言将影响模型的使用效果，要学会使用通俗的语言表达数学上的结论，使得它能为更多的人所接受.

（节选自北京师范大学出版的《数学模型与数学建模》（第4版））