第44练　数形结合思想

[思想方法解读]　数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的.

体验高考

1.(2015·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log₂(x＋1)的解集是(　　)

A.{x|－1＜x≤0}  B.{x|－1≤x≤1}  C.{x|－1＜x≤1}  D.{x|－1＜x≤2}

答案　C

解析　令g(x)＝y＝log₂(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图.

由　得

∴结合图象知不等式f(x)≥log₂(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.

2.已知f(x)＝2^x－1，g(x)＝1－x²，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)

A.有最小值－1，最大值1

B.有最大值1，无最小值

C.有最小值－1，无最大值

D.有最大值－1，无最小值

答案　C

解析　由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而h(x)＝，

故h(x)有最小值－1，无最大值.

3.(2015·重庆)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.

答案　4或－6

解析　由于f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，

当a>－1时，

f(x)＝

作出f(x)的大致图象如图所示，由函数f(x)的图象可知f(a)＝5，

即a＋1＝5，

∴a＝4.

同理，当a≤－1时，－a－1＝5，

∴a＝－6.

高考必会题型

题型一　数形结合在方程根的个数中的应用

例1　方程sin πx＝的解的个数是(　　)

A.5  B.6  C.7  D.8

答案　C

解析　在同一平面直角坐标系中画出y₁＝sin πx和y₂＝的图象，如下图：

观察图象可知y₁＝sin πx和y₂＝的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，在加上原点，共7个交点，所以方程sin πx＝有7个解.

点评　利用数形结合求方程解应注意两点

(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.

(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合.

变式训练1　若函数f(x)＝有且只有两个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)

A.(－4，0)  B.(－∞，0]  C.(－4，0]  D.(－∞，0)

答案　B

解析　当x>0时，f(x)＝ln x与x轴有一个交点，

即f(x)有一个零点.

依题意，显然当x≤0时，f(x)＝－kx²也有一个零点，即方程－kx²＝0只能有一个解.

令h(x)＝，g(x)＝kx²，则两函数图象在x≤0时只能有一个交点.

若k>0，显然函数h(x)＝与g(x)＝kx²在x≤0时有两个交点，即点A与原点O(如图所示).

显然k>0不符合题意.

若k<0，显然函数h(x)＝与g(x)＝kx²在x≤0时只有一个交点，即原点O(如图所示).

若k＝0，显然函数h(x)＝与g(x)＝kx²在x≤0时只有一个交点，即原点O.

综上，所求实数k的取值范围是(－∞，0].故选B.

题型二　利用数形结合解决不等式函数问题

例2　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是________.

答案　(0，1)

解析　当x≥2时，f(x)＝，

此时f(x)在[2，＋∞)上单调递减，且0<f(x)≤1.

当x<2时，f(x)＝(x－1)³，此时f(x)过点(1，0)，(0，－1)，且在(－∞，2)上单调递增.

当x→2时，f(x)→1.

如图所示作出函数y＝f(x)的图象，由图可得f(x)在(－∞，2)上单调递增且f(x)<1，

f(x)在[2，＋∞)上单调递减且0<f(x)≤1，

故当且仅当0<k<1时，关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，

即实数k的取值范围是(0，1).

点评　利用数形结合解不等式或求参数的方法

求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.

变式训练2　若存在正数x使2^x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)

A.(－∞，＋∞)  B.(－2，＋∞)  C.(0，＋∞)  D.(－1，＋∞)

答案　D

解析　因为2^x>0，所以由2^x(x－a)<1得x－a<＝2^－x，在直角坐标系中，作出函数f(x)＝x－a，g(x)＝2^－x在x>0时的图象，如图.

当x>0时，g(x)＝2^－x<1，

所以如果存在x>0，使2^x(x－a)<1，

则有f(0)<1，即－a<1，即a>－1，

所以选D.

题型三　利用数形结合求最值

例3　已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)

A.1  B.2  C.  D.

答案　C

解析　如图，

设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.

由题意知⊥，

∴O、A、C、B四点共圆.

∴当OC为圆的直径时，|c|最大，此时，||＝.

点评　利用数形结合求最值的方法步骤

第一步：分析数理特征，确定目标问题的几何意义.一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义.

第二步：转化为几何问题.

第三步：解决几何问题.

第四步：回归代数问题.

第五步：回顾反思.

应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：(1)比值——可考虑直线的斜率；(2)二元一次式——可考虑直线的截距；(3)根式分式——可考虑点到直线的距离；(4)根式——可考虑两点间的距离.

变式训练3　已知圆C：(x－3)²＋(y－4)²＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A.7  B.6  C.5  D.4

答案　B

解析　根据题意，画出示意图，如图所示，

则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.

因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.

要求m的最大值，

即求圆C上的点P到原点O的最大距离.

因为|OC|＝＝5，

所以|OP|_max＝|OC|＋r＝6，

即m的最大值为6.

高考题型精练

1.若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)²＋y²＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)

A.[－，]                                    B.(－，)

C.[－，]                                    D.(－，)

答案　C

解析　设直线方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，

直线l与曲线(x－2)²＋y²＝1有公共点，

圆心到直线的距离小于等于半径，

即d＝≤1，

得4k²≤k²＋1，k²≤.所以－≤k≤.

2.已知f(x)＝|x·e^x|，又g(x)＝f²(x)＋t·f(x)(t∈R)，若满足g(x)＝－1的x有四个，则t的取值范围为(　　)

A.(，＋∞)  B.(－∞，－)  C.(－，－2)  D.(2，)

答案　B

解析　依题意g(x)＝f²(x)＋t·f(x)＝－1，

即t＝＝－[f(x)＋]≤－2，

可排除A，C，D.

也可以画出函数－[f(x)＋]图象如下图所示，

要有四个交点，则选B.

3.已知函数f(x)满足下列关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x²，则方程f(x)＝lg x解的个数是(　　)

A.5  B.7  C.9  D.10

答案　C

解析　由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数.又f(x)＝lg x，则x∈(0，10]，画出两函数图象，

则交点个数即为解的个数.

由图象可知共9个交点.

4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x)＝f(x＋4)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝()^x－1，若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－log_a(x＋2)＝0(a>1)恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是(　　)

A.(，2)  B.(，2)  C.[，2)  D.(，2]

答案　B

解析　作出f(x)在区间(－2，6]上的图象，

可知log_a(2＋2)<3，log_a(6＋2)>3⇒<a<2，

选B.

5.若方程x＋k＝有且只有一个解，则k的取值范围是(　　)

A.[－1，1)  B.k＝±  C.[－1，1]  D.k＝或k∈[－1，1)

答案　D

解析　令y₁＝x＋k，y₂＝，

则x²＋y＝1(y≥0).作出图象如图，

在y₁＝x＋k中，k是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k＝或－1≤k<1.

6.已知函数f(x)＝|4x－x²|－a，当函数有4个零点时，则a的取值范围是__________.

答案　(0，4)

解析　∵函数f(x)＝|4x－x²|－a有4个零点，

∴方程|4x－x²|＝a有4个不同的解.

令g(x)＝|4x－x²|＝

作出g(x)的图象，如图，由图象可以看出，当h(x)＝a与g(x)有4个交点时，0<a<4，

∴a的取值范围为(0，4).

7.设f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________.

答案　(4，＋∞)

解析　由于函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象如图所示.

由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，

解得ab＝a＋b>2(由于a<b)，

所以ab>4.

8.已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.

答案　(0，1)∪(1，4)

解析　根据绝对值的意义，

y＝＝

在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示.

根据图象可知，

当0<k<1或1<k<4时有两个交点.

9.已知实数x，y满足则的最大值为________.

答案　2

解析　画出不等式组

对应的平面区域Ω(含边界)为图中的四边形ABCD，

＝表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率，显然OA的斜率最大.

10.给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y＝x^－1，y＝x，y＝(x－1)²，y＝x³中有三个是增函数；②若log_m3<log_n3<0，则0<n<m<1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点(1，0)对称；④若函数f(x)＝3^x－2x－3，则方程f(x)＝0有两个实数根，其中正确的命题是________.

答案　②③④

解析　对于①，在区间(0，＋∞)上，只有y＝x，y＝x³是增函数，所以①错误.

对于②，由log_m3<log_n3<0，

可得<<0，

即log₃n<log₃m<0，

所以0<n<m<1，所以②正确.

易知③正确.对于④，

方程f(x)＝0即为3^x－2x－3＝0，

变形得3^x＝2x＋3，令y₁＝3^x，y₂＝2x＋3，

在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图.

由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确.